Оснований для постановки кавычек нет.
Правильнее: дополнительный офис "Первый" ПАО "Ветер Банк" и дополнительный офис "Первый" "Ветер Банка".
Корректно: ОАО "Банк", именуемое...
Дело в том, что беспредложный вариант неоднозначен; правильно: экстрадиция в Россию.
Верно: банка спрайта (в разговорной речи при упоминании напитка) и банка "Спрайта" (при указании на торговую марку).
Верно: Банк ждет давления на капитал.
Грамматически верны оба варианта управления.
Корректно: банк в Калуге, в г. Калуге.