Корректно: трое детских яслей-садов.
Мужская фамилия Гайдук склоняется (Гайдука, Гайдуку и т. д.), женская – нет.
Фамилия Гайда склоняется.
Название "Авито" не склоняется.
Верно: Я покажу на слайдах, кто есть кто.
Нет, эти слова имеют разные корни и разное происхождение.