В словарях есть оба слова.
Правильно: Евгении.
Действительно, правильно: ...абельный.
Да, предпочтительно именно такое склонение, без выпадения гласного. Допустимо также склонение с выпадением гласного: Апенка, Апенку и т. д. Тип склонения вправе выбрать носитель фамилии.
Д. п. - Мебонии.
Правильно с дательным.
На практике возможны оба варианта, предпочтительный лучше уточнить у носителя фамилии.