Корректно без кавычек: рудник Березитовый.
В «Морфемно-орфографическом словаре русского языка» А. Н. Тихонова (М., 1996) в слове родник корень -род- не выделяется, корнем считается все слово. Однако этимологически слова род, родить, родник связаны. Существительное родник исторически образовалось от родный 'рождающий'. Родник мыслился как источник, рождающий реку.
Вот хорошая статья на эту тему.
Мы бы не стали использовать такое сочетание.
Нет, нельзя.
Если имеется в виду мясо (мышечная ткань) рыбы, то лучше: рыбье мясо.
Оба варианта возможны.