Оба слова в кличке нужно писать с прописной: Рыжий Пес.
Вместо нету следует написать нет, в остальном всё верно.
«Словарь русского арго» В. С. Елистратова указывает, что слово рыба 'заготовка, образец, костяк, шаблон чего-либо', возможно, восходит к просторечному рыба 'подделка, подтасовка, то, что подбрасывают вместо чего-либо' или же к уголовному жаргону.
Фамилия Рыбка склоняется (и мужская, и женская). Вы написали правильно.
Если в имени Рабия последняя гласная - ударная, то верно: РабиЕ. Ср.: Зульфия - Зульфие, Алия - Алие.