Оба варианта верны. Выбор делает автор текста.
Использование предлога на в этом случае невозможно: он меняет смысл предложения.
В ваших примерах лучше выбрать форму множественного числа.
Верно: надеть перчатки на руки.
В предложении Руки как ветви сравнительный оборот является сказуемым, а потому не обособляется. См. параграф 90 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Корректно слитное написание.
Верно: обратила внимание на наложенную на левую руку повязку.