Оба варианта верны. Выбор делает автор текста.
Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.
В предложении Руки как ветви сравнительный оборот является сказуемым, а потому не обособляется. См. параграф 90 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Оба варианта правильные.
Нет, это не вводные конструкции, а самостоятельные предложения.