Запятая нужна.
Правильно: Ни минуты покоя (нет). Теоретически возможно: Не минуты покоя (а часы).
Вариант словосочетания с предлогом общеупотребителен. В технических описаниях продукции, в документах используются беспредложные обороты типа товары сроком годности (до десяти дней), паспорт сроком действия (на 5 лет). Очевидно, что выбор предложного и беспредложного варианта словосочетания может определяться стилистическими особенностями текста.
Правильно: она родом с Аляски.
Грамматических родов - три, плюс к этому существуют слова "общего рода".
Верно дефисное написание: лего-робот.
Запятые нужны. Сравнительный оборот как кокон обособляется.