Это слово может быть написано с большой буквы в контексте, где ему приписывается особый высокий смысл.
Предпочтительно склонять фамилию без выпадения гласного: Рожока Владимира. Допустимо также склонение с выпадением гласного: Рожка Владимира. Тип склонения вправе выбрать носитель фамилии.
Возможен первый или второй вариант.
Лучше: не увидев политической опоры.
Возможны оба варианта написания. С прописной буквы это слово пишется в тех контекстах, где ему приписывается особый высокий смысл. Ср: малая родина и отдать жизнь за Родину.
Правильно: клала. Употребление слова ложить в речи грамотного человека недопустимо.