Это часть обстоятельства места.
Правильно: Родина-мать зовет. Родина-мать – подлежащее, зовет – сказуемое.
Это слово может быть написано с большой буквы в контексте, где ему приписывается особый высокий смысл.
Возможен первый или второй вариант.
В словосочетании красивая морда содержится стилистическая ошибка, однако это не плеоназм (нарушение норм лексической сочетаемости — употребление в словосочетании или предложении лишних со смысловой точки зрения слов: патриот родины, единый монолит и т. п.).
Слово родина можно писать и с большой буквы, и с маленькой.