Правильно: Мавзолей Ленина.
Р произносится мягко.
Можно, если имеется в виду "занять первое место в рейтинге".
Возможны разные написания, выбор зависит от контекста. В приведенном предложении две заглавные буквы стилистически оправданны, они подчеркивают особый высокий смысл.
Решена - краткое причастие.