Правильно: история Древнего мира, история Средних веков.
Корректно без кавычек: рудник Березитовый.
Правильно: история Древнего мира и Средних веков.
В «Морфемно-орфографическом словаре русского языка» А. Н. Тихонова (М., 1996) в слове родник корень -род- не выделяется, корнем считается все слово. Однако этимологически слова род, родить, родник связаны. Существительное родник исторически образовалось от родный 'рождающий'. Родник мыслился как источник, рождающий реку.
Запятые не нужны. Нет оснований для их постановки.
Верно: малый и средний бизнес важен для города.
Нормативных указаний на этот счет нет. Возможно смысловое согласование в ж. р. (толстовка, кофта - ж. р.).