Верно: беспружинный.
Это равноправные орфографические варианты.
Оба варианта верны.
Правильно: полупротертый матрац.
Верен вариант с предлогом НА.
Варианты матрац и матрас равноправны.
Правилен второй вариант.
Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Верно: возмещение части затрат на приобретение.