В таких случаях наречие пишется с двумя дефисами: по-нью-йоркски, по-нью-орлеански...

Оба варианта возможны (с относительным или притяжательным прилагательным).

Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.

В современном литературном языке слово "контроль" имеет варианты управления: контроль над чем - контроль за чем - контроль чего. Грамматисты полагают, что конструкцию "контроль над чем" предпочтительно употреблять при существительных не глагольного происхождения, обозначающих конкретный предмет, и при существительных одушевленных (контроль над финансами, но: контроль за финансовой деятельностью; контроль над молодыми специалистами). Конструкция с предлогом "за", более современная, применяется в тех случаях, когда зависимое слово - отглагольное существительное, обозначающее действие (контроль за выполнением задания, контроль за посещаемостью). Конструкция "контроль чего" характеризуется стилистической ограниченностью: она встречается преимущественно в специальной литературе (контроль заданных температур, контроль выхода автобусов на линию). Так что в интересующем Вас случае предпочтительно: контроль за порядком проведения работ . 

В данном случае можно использовать любой из этих предлогов. Но лучше написать: контроль за работами.

Подробнее см. в вопросе 277510.

Такая форма практически неупотребительна (есть слова ранее и раньше).

Мир цветов радуги - лучше.

Перед словами, начинающимися с согласного [щ], употребляется предлог со: со щавелем.