Если банк называется «Москва», правильно: управляющему банком «Москва». Если имеется в виду «Банк Москвы», правильно: управляющему «Банком Москвы».

Запятые не нужны. Деепричастие здесь употребляется в значении обстоятельства образа действия (ср.: без спешки).

Предпочтительно в большинстве контекстов: управляющая банком.

Верен первый вариант.

Правильно: в каждом году.

Сочетание заключить проект некорректно. Заключить можно договор, соглашение, а проект — согласовать.

Едва ли в названии магазина Москву приглашают с чем-то или с кем-то знакомиться. Вернее предположить, что глагол в повелительном наклонении знакомьтесь адресован не Москве, а посетителям магазина, Москва же предстает как объект, с которым знакомят посетителей. Следовательно, обращения в предложении нет. Перед нами бессоюзное сложное предложение, во второй части которого подразумевается  подлежащее это, сравним: Знакомьтесь, это Москва. Между частями бессоюзного сложного предложения вместо запятой лучше поставить двоеточие, чтобы выразить значение пояснения: Знакомьтесь: Москва.

Правильно: Исключить проведение занятий работниками, указанными в данном распоряжении...