Предложение не вполне корректно, нужно переформулировать.
Интересный вопрос. В этом предложении ку-ку выполняет функцию сказуемого (ср.: двинулся, тронулся). Что касается частеречной характеристики этого слова: по морфологическому (неизменяемость) и семантическому (обозначение нединамического состояния, с выражением оценки) признакам оно близко к предикативам.
Оба варианта корректны.
Запятая нужна. Ею нужно разделить главную и придаточную части сложного предложения.
Правильно: придется.