В сочетании с родовым словом район название Черемушки не склоняется. Верно: в районе Черемушки, из района Черемушки.
Корректно: на тыльной стороне ладоней.
Правильно: в районе.
Так говорить можно.
Правильно: под участком (каким), расположенным.
Запятая перед сообщаем не требуется. Но лучше перестроить предложение: По вопросу территории в Московском районе, ограниченной Киевским пр. и Московской ул., сообщаем...
Ваше замечание справедливо. В районе в значении 'приблизительно' – разговорное употребление. В нейтральных контекстах лучше его избегать.