Оба варианта возможны.
Верно: Рядом с поселком Балахнинским.
Форма мужского рода предпочтительна в строгом деловом стиле, в тех случаях, когда в контексте на первое место выдвигается сообщение о должности безотносительно к полу. Например, в приказе: заведующим детским садом назначить Иванову. В обиходной письменной и тем более устной речи предпочтительна форма женского рода: заведующая детским садом Иванова.
Оба варианта правильны.
Верно: Где бы вы ни были, мы всегда рядом.
После слова рядом следует поставить запятую или тире.
Предпочтительно: рядом с прудОм.
Сочетание некорректно. Возможно, в этом случае следует опустить оба слова либо переформулировать предложение.
В газете лучше: заведующая.