Оба варианта корректны, однако есть нюансы в значении. Форма множественного числа сказуемого показывает, что  в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается двум равноправным субъектам. Форма единственного числа указывает на то, что подлежащим является только слово мама, а слово ребенком выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия (т. е. ребенка ведут гулять, он в данном случае не является самостоятельным субъектом действия).

В разговорной речи возможна замена "пойдем" на "пошли".

Нет, поскольку в роли однордных членов выступают здесь разные части речи. Ср.: Летели две птицы, одна большая, а другая на юг. 

Знаки препинания расставлены верно.

Запятые не нужны.

Лучше поставить тире: Хочешь – иди гулять, хочешь – оставайся дома.

Знаки не требуются: Надо так надо. Гулять так гулять.