Правильно: под Фалезом.
Да, все верно.
Нет, такая форма мн. ч. некорректна.
Запятая нужна: в данном случае слово предположительно имеет значение 'вероятно, возможно, скорее всего', а значит, оно вводное.
Предлог не нужен, и слово ход здесь лишнее: организует информационное обеспечение реализации мероприятия. Но лучше написать без канцеляризмов и нанизывания родительных падежей: освещает реализацию мероприятия.
Правильно: организация информационного обеспечения мероприятия, информирование о ходе реализации мероприятия.