Да, фамилия склоняется.

Звучание этих слов несколько отличается: [тэ] и [т'е]. Поэтому правильнее назвать такие слова паронимами.

Верно: правитель Венецианской республики.

Слово правитель управляет родительным падежом: правитель государства, правитель мира. Вероятно, Вас смущает, что глагол править требует творительного падежа: править государством, править миром. Но это вовсе не означает, что такое же управление должно быть и у существительного, образованного от этого глагола.

Употребление слова родитель (в значении 'отец') возможно, но только в разговорной речи.

Склоняется.

Верно: стелить постель. Делать постель - неудачная калька с английского языка.

Фамилия склоняется.

Рематический - прилаг. от слова рема.

Словарь методических терминов

РЕМА. При актуальном членении предложения коммуникативный центр высказывания, содержание сообщения (новая информация); то новое, что говорящий сообщает, отправляясь от темы (см. тема во 2-м знач.).

Происхождение фамилии значения не имеет. Мужская фамилия Кравец склоняется, женская – нет.