Можно возражать против чего-л. и на что-л.
Корректно: Он не принял бой.
Термин международного права: преступление против человечности (англ. humanity). Но в словарях и энциклопедиях также отмечается перевод преступление против человечества.
Корректно: принят на должность заведующего кафедрой.
Выражение неудачно. Мероприятия обычно проводят.
Оба варианта верны.