Правильно: при поддержке государства.
При - предлог.
Лучше: при заказе на сайте.
Правильно: при поддержке фонда, при поддержке института.
Верно: при таком-то поле.
Слова при желании, как правило, не выделяются запятыми. Обратите внимание: при передаче e-mail средствами русского письма коррректно: имейл-адрес.
Верно: при аэропорте.
Корректно: ...при повреждении, порче или утрате билета. Обратите внимание: повреждение и порча – это одно и то же, поэтому одно из слов стоит из предложения убрать.