Фразеологизм: нашего полку прибыло.
Верно: по прибытии на скалодром.
Возможны оба варианта, вариант без предлога употребляется чаще.
Правильно, если смысл - "по тому, в какое время прибывал автобус, сверяли часы".
Да, это название склоняется (см. словарную фиксацию). Правильно: приток Ред-Ривера.
См. в «Словаре трудностей».