Правильно: в бассейн.
Корректно: Не могли бы вы пойти... (без ЛИ).
Верно: пойти в кафетерий.
Глаголы пойти, уйти, прийти, выйти являются самостоятельными словами, а не формами одного слова. Это однокоренные глаголы, производные от глагола идти (корень -ид-); в производных глаголах пойти, уйти, прийти, выйти корень производящего глагола представлен вариантом (алломорфом) -й-.
См. ответ на вопрос № 274748.
Верно: пойти на рынок.
Правильно: пойти за молоком.