Оба варианта возможны. Выбор первого варианта, как сообщается в пособиях по практической стилистике русского языка, определяют грамматические особенности сочетания, в котором общее определение (в этом случае какую) предшествует однородным членам предложения, выраженным существительными с различающимися формами числа. Согласование с ближайшим существительным — таково логичное синтаксическое решение. Но в иных случаях автор выбирает второй вариант, так как стремится подчеркнуть отнесенность определения в форме множественного числа ко всем определяемым существительным. Этот выбор оправдан заботой о ясности и однозначности высказывания (что весьма важно, в частности, в текстах документов).

Правильно: Мы ни на что не намекаем...

Запятая не нужна. Запятая не ставится внутри выражений типа есть чем заняться, есть над чем поработать и т. д.

Запятая не ставится.

Это зависит от того, какого рода информацию Вы хотите получить. Можно начать с "Русской грамматики" (М., 1980).

Плоды были не на деревьях, не между ними и не на дороге.

Орфографически верно: Троице-Сергиева лавра. Официально: Свято-Троицкая Сергиева лавра.

Никогда не говори «никогда» :)