Оба варианта верны.
Верен вариант с предлогом НА.
Следует писать слитно: хранение несезонной одежды.
Инициалы обычно ставятся перед фамилией, исключение составляют лишь алфавитные списки и библиографии. Верно: поручение В. В. Путина.
Этот оборот выделяется запятыми факультативно, в зависимости от интонационного обособления.