Сочетания теплая погода, холодная погода корректны, зафиксированы словарями русского языка.
Предпочтителен второй вариант.
Второй вариант верен.
Да, это родственные слова.
Можно посмотреть здесь.
При употреблении в сочетании с родовым словом согласование не требуется: жители села Ясная Поляна.
Предпочтительно: подана.
Правильно: строганый погонаж. Отглагольное прилагательное строганый пишется с одной буквой н. Ср.: строганные плотником доски (есть зависимое слово, строганный – причастие, пишется с двумя н).