Нейтральный стиль: 5-я ул. Соколиной горы, ул. Металлургов.
В сочетании с географическим термином гора названия женского рода склоняются: на горе Зеленой. Названия мужского рода остаются в начальной форме: у горы Эльбрус.
Корректны оба варианта.
Верно: Западно-Сахалинский район.
Правильно: на гору, допустимо: на гору.
Это название горной системы, оно пишется с прописной буквы: Кавказские горы.