К сожалению, такой фразеологизм нам неизвестен. В каком контексте он Вам встретился?
Сочетания теплая погода, холодная погода корректны, зафиксированы словарями русского языка.
Предпочтителен второй вариант.
Второй вариант верен.
Да, это родственные слова.