В подписи верно: Игорь, риелтор.
Можно сказать, что это суффиксальное образование от "подпереть".
Грамматически правилен первый вариант. Но мы полагаем, что на тетради достаточно написать: ученика школы № 878.
Правильно: о предоставлении.
Верно: семья Балицевич.
В подписи уместен женский род: заведующая сектором Мария Ивановна Сидорова. Мужской род – в строгой деловой речи, в официальных документах.
Ошибки нет. В конце не хватает точки.
Нужно склонять: тетрадь Деды Елены.
Правильно: доезжай, подъезжай (можно проверять в Словаре трудностей в окне «Проверка слова»).