Верно: Подкладывать дрова в костер.
Тетрадь Кузина Данилы.
В подписи верно: Игорь, риелтор.
Правильно: о предоставлении.
Грамматически правилен первый вариант. Но мы полагаем, что на тетради достаточно написать: ученика школы № 878.
Верно: семья Балицевич.
Нужно склонять: тетрадь Деды Елены.
Запятая ставится между частями сложносочиненного предложения.
В подписи уместен женский род: заведующая сектором Мария Ивановна Сидорова. Мужской род – в строгой деловой речи, в официальных документах.
Ошибки нет. В конце не хватает точки.