Возможны оба варианта.
К сожалению, такой фразеологизм нам неизвестен. В каком контексте он Вам встретился?
Да, это однокоренные слова.
Сделанный из частей растения гречихи - гречишный, приготовленный из зёрен гречихи или продуктов их обработки - гречневый.
Лучше: видная команде доска.
Правильно: самодвижущаяся повозка.