Допустимы оба варианта: попить чая, попить чаю. Второй вариант более употребим в разговорной речи.
Слова боза не существует. В Бозе - это церковнославянский вариант сочетания "в Боге".
Оба варианта возможны.
Ловить рыбу в мутной воде – неодобр. извлекать выгоду для себя, пользуясь неясностью обстановки, чьими-либо затруднениями.
Выглядеть - второе спряжение (как глядеть, глядит). Почить - первое спряжение (почиет).
В данном случае можно после глагола подставить вместо одушевленных неодушевленные существительные, которые будут отвечать на вопрос "что" (это признак винительного падежа). Кроме того, указанные глаголы - переходные, а значит, они управляют винительным падежом.