Корень: подушк-, окончание: -а.
Если слово городской не является частью официального названия учреждения, то верно: городской Дом культуры "Победа".
Да, такое употребление возможно.
Да, это однокоренные слова.
В разговорной речи такое сочетание возможно.
Сделанный из частей растения гречихи - гречишный, приготовленный из зёрен гречихи или продуктов их обработки - гречневый.
Лучше: поездка в Доминикану.