Оба варианта возможны в зависимости от контекста.
Да, такое употребление возможно.
Корень: подушк-, окончание: -а.
Да, это однокоренные слова.
Если слово городской не является частью официального названия учреждения, то верно: городской Дом культуры "Победа".
В разговорной речи такое сочетание возможно.
Сделанный из частей растения гречихи - гречишный, приготовленный из зёрен гречихи или продуктов их обработки - гречневый.