Сочетание старый как мир является устойчивым, запятая не ставится.
Правильно: Ты что, больной? Здесь что - сказуемое.
Верно слитное написание.
Однословного термина нет, корректно: больной анорексией.
Правильно с предлогом В.
В парах зимой – зимою, страной – страною, доро́гой – доро́гою вторая форма является архаичной. Она используется в стилистических целях.