Правильно: гравийная.
Возможны варианты пунктуации: На пике своей активности, а точнее, после выборов молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее – после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. См. «Справочник по пунктуации» (примечание 3 к пункту 2).
Название парка пишется с заглавной буквы: Мы в Полежаевском парке. Написание строчными – ошибка.
Корректно: Посетили экскурсии в парке «Патриот», на заводе...
Запятая не нужна. Союз и соединяет однородные придаточные предложения.
Да, указанные запятые нужны.