В подобных случаях при словах супруги, семья фамилии обычно ставятся в единственном числе: супругам Ким.
Если фамилия сопровождается мужским и женским именами, то она также сохраняет форму единственного числа: Наталье и Олегу Ким.
Верны оба варианта.
Правильно: Древний Рим (государство) и древний Рим (город).
Склоняется первое слово: к утреннему часу пик.