В данном случае сочетание не спеша можно считать наречием.
Правильно: страны Старого Света.
Оба варианта правильны.
В значении 'сторона света' восток – нарицательное существительное (пишется со строчной), в значении 'страны Азии' – собственное (пишется с прописной).
Правильно: семь чудес света.
Правильно с предлогом СО.