Если это официальное название мероприятия, первое слово в названии пишется с большой буквы: Большие петровские игры.
Корректно написание со строчной буквы: петровские времена.
Правильно: гэдээровский.
Правильно: березниковцы, березниковец, жительница Березников.
Следует заключить в кавычки только слово петровские: Цикл выездных "петровских" уроков для школьников.
Правильно: Первая мировая война, Вторая мировая война, Петровские реформы.