Корректно: В жирник (самодельный светильник) добавлялся любой жир домашних животных, предварительно растопленный.
Корректны прописные буквы (терминологическое значение).
Слово путник образовано от существительного путь с помощью суффикса -ник (путник – тот, кто совершает путь пешком). А слово лесник образовано от прилагательного лесной с помощью суффикса -ик (лесник – лесной сторож, работник лесного хозяйства).
вы написали верно. См. «Письмовник».
Да, нужно закрыть придаточную часть.