Правильно: завтра моя смена. Фамилия Чурило не склоняется.
Литературный вариант: бдеть (=бодрствовать), он бдит. Соответственно, производное - перебдеть.
Запятая нужна.
Внутри такого рода выражений фразеологического характера с двумя повторяющимися союзами и…и, ни…ни, которые соединяют слова с противоположным значением, запятая не ставится: и туда и сюда; и там и здесь.