Сочетания большое спасибо, сердечное спасибо и т. п. зафиксированы в словарях как литературные, без особых стилистических помет. Это не ошибка и не просторечие.
Написание слов можно проверять с помощью ресурса «Проверка слова».
Существует слово пазуха - существительное. Этим объясняется раздельное написание выражения за пазухой.
Наименование должности генеральный директор пишется строчными буквами.