Правильнее: дополнительный офис "Первый" ПАО "Ветер Банк" и дополнительный офис "Первый" "Ветер Банка".
В географических и административно-территориальных названиях все слова пишутся с прописной буквы (кроме служебных слов и слов года, лет, имени), поэтому слово разъезд в составе названия нужно начинать с прописной. Выбор словесной или словесно-цифровой записи для обозначения порядкового числительного не регламентируется правилами орфографии. То есть орфографически корректно: микрорайон Первый Разъезд и микрорайон 1-й Разъезд.
Правильно строчными: первый закон Ньютона.
Правильно: Первый крестовый поход.
Возможные варианты: Мы пресс-центр смены, и сегодня мы издали первый выпуск газеты и Мы, пресс-центр смены, сегодня издали первый выпуск газеты.
Слово первый не является в русском языке заимствованным, это исконно русское слово, относящееся к самому древнему – индоевропейскому пласту, оно имеет соответствия в корнях слов многих других индоевропейских языков.
В первый раз в первый класс – не ошибка. Употребление сочетания в первый раз вместо первый раз (и наоборот) не может считаться ошибкой, т. к. это равноправные варианты.
Сочетание самый первый очень употребительно и не противоречит лексическим нормам. Первый может употребляться в речи не только как числительное, но и как прилагательное, образующее степени сравнения. Например, словарями фиксируются такие значения: 'предшествующий другим однородный, подобный', 'такой, который начал какое-либо действие'.
Примеры употребления оборота: Но странно, эти самые первые, пришедшие ночью в Сталинград без оружия солдаты, отдавая хлеб защитникам города, обнимая и целуя их, словно были печальны, не веселились и не пели (В. Гроссман); Письмо было датировано самыми первыми годами нового века, и город, который стоял около даты, Ганка знал хорошо (Ю. Домбровский); В самых первых статьях о формализме «Правда» специально говорила о формалистских ошибках В. Мейерхольда, но он отнесся к этой критике, по обыкновению, несерьезно и безответственно (Ю. Анненков).
Слова на первый взгляд в этих предложениях являются вводными и выделяются запятыми. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".