Возможен и вариант с инфинитивом: давай писать друг другу. Обе конструкции не противоречат грамматическим нормам.
Можно использовать первые два варианта.
Возможны варианты: Ну, давай переезжай! Ну давай, переезжай! Пунктуация зависит от интонации.
Указанная запятая не нужна.
В подобных предложениях запятая не требуется.
АЙДА. [тат. айда]. Разг. I. межд. Употр. как решительный призыв, приглашение отправиться куда-л. Ребята, а. за яблоками! А., мужики, домой. II. нареч. в функц. сказ. Обозначает быстрое перемещение куда-л. Сел на машину - и а. в город! Наберём полные карманы каштанов - и а. обратно.
Запятая возможна.
Большой толковый словарь
неизм.; м. [франц. parade alle] Цирк.
Торжественный выход на арену всех участников представления. //
Торжественное шествие (спортсменов, конкурсантов, артистов и т.п.).
К первому (в соответствии со школьной программой).
См. в учебнике Е. И. Литневской (разделы Синонимы, Антонимы).