Правильно: оплата обучения, плата за обучение.
Верно: параллельно с вводом в эксплуатацию.
Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Верно: видам, заявленным.
Запятая нужна, так после определяемого существительного деятельность следует определительный оборот.
Какой смысл вкладывается в это словосочетание?