См. вопрос 293284.
Да, это однокоренные слова.
Вариативно: машет и махает.
Предпочтительно: ракУшка.
Корректно дефисное написание.
Сделанный из частей растения гречихи - гречишный, приготовленный из зёрен гречихи или продуктов их обработки - гречневый.
Подлежащее — бабушка с дедушкой.
Авторскую ремарку (мечтательно) лучше заключить в скобки.
Возможно так: Юная девушка, Ольга Мещерская нуждалась в любви (=нуждалась в любви, поскольку была юной девушкой).
Запятая не нужна.