Это не однокоренные слова.

Правильно: верить во что-то.

В значении "таким же способом" - так же.

Можно, но лучше: вручать подарки и исполнять танцы.

Обычно блины пекут. Есть даже профессия блинопёк, а не блиножар.

В орфографии, которой свойственен более этимологичный подход к членению слова на морфемы, в глаголе озарить выделяется корень -зар- (см., например, данные ресурса «Орфографическое комментирование русского словаря»). Это оправданно историческими связями глагола со словами заря, зарево, зарница, которые еще ощущаются носителями языка. В морфемике в глаголе озарять может выделяться и корень озар-, так как в современном русском языке он уже не имеет словообразовательных связей со словами с корнем -зар- (см., например, «Морфемно-орфографический словарь» А. Н. Тихонова).

Пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» на портале и «Справочником по фразеологии».

Спасибо, ответ исправлен.

Запятая нужна.