Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Возможны варианты: доступ к чему-либо, доступ куда-либо. Не вполне ясно, каков смысл фразы.
Нейтрально (не в энциклопедии): Крысий остров.
Корректно: не открою Америку.
Если речь идет о географическом названии (пусть и вымышленном), верно: остров Невезения (по общему правилу). Как название песни – «Остров Невезения».
А вот если какая-нибудь территория будет образно названа Островом невезения, верным будет именно такое написание (в образных названиях с прописной буквы пишется первое слово), ср.: Остров свободы (о Кубе).
Правильно: Васильевский остров.
Правильно: остров Короля Георга.